中世纪后期的数学家Oresme在1360年就证明了这个级数是发散的。

他的方法很简单：

1+1/2+1/3 +1/4 + 1/5+ 1/6+1/7+1/8 +...

1/2+1/2+(1/4+1/4)+(1/8+1/8+1/8+1/8)+...

注意后一个级数每一项对应的分数都小于调和级数中每一项，而且后面级数的括号中的数值

和都为1/2，这样的1/2有无穷多个，所以后一个级数是趋向无穷大的，进而调和级数也是发，散的。S(2^n)=1+1/2+(1/3+1/4)

+(1/5+1/6+1/7+1/8)

+……

+{1/[2^(n-1)+1]+1/[2^(n-1)+2]+……+1/2^n}

≥1+1/2+1/2+……+1/2

=1+n/2

∴limS(2^n)=+∞

∴∑1/n发散。解：“级数∑1/n，n=1,2，……，∞”是发散的。其证明过程可以是，

∵∑1/n=1+1/2+1/3+1/4+……=1+1/2+(1/3+1/4)+(1/5+……+1/8)+(1/9+……+1/16)+(1/17+……+1/32)+……>1+1/2+2(1/4)+4(1/8)+8(1/16)+16(1/32)……=1+m/2+……，

当n→∞时，m→∞，1+m/2→∞发散。∴级数∑1/n发散。考虑部分和s(n)=∑(i=1,n)(-1)^(n-1)，易知s(n+1)=s(n)+1（n为奇数）或s(n+1)=s(n)-1（n为偶数），而s(1)=-1^(1-1)=1，因此数列s(n)为1、0、1、0……，一般项周期性变化且不外乎0、1两个不同的值，于是随n→∞时s(n)的值不确定，由极限的确定性得lim(n→∞)s(n)不存在，再由级数的定义得原级数发散。